PROGRESSÕES
As progressões representam uma importante ferramenta, pois sua aplicabilidade se encontra em situações relacionadas à Matemática Financeira. Os juros simples podem ser relacionados às progressões aritméticas e os juros compostos estão diretamente ligados às progressões geométricas.
Os estudos relacionados às progressões são fundamentados nas sequências lógicas finitas ou infinitas e podem ser encontrados nas funções exponenciais e na Geometria.
Os estudos relacionados às progressões são fundamentados nas sequências lógicas finitas ou infinitas e podem ser encontrados nas funções exponenciais e na Geometria.
Questão:
Divida 100 pães por 5 homens, de modo que a partilha seja feita numa
progressão aritmética e que a soma das duas menores partes seja 1/7
da somas das três partes
maiores. Qual é a diferença entre as partes?
Resolução:
Este problema utiliza simultaneamente séries aritméticas e
equações.
Consideremos a diferença 5
1/2.
Agora consideremos as partes
1, 6 1/2, 12, 17 1/2, 23 que totalizam 60.
Como temos 100 pães,
multipliquemos cada parte por 100/60=1 2/3. Obtém-se assim as partes
1 2/3, 10 2/3 1/6, 20, 29 1/6, 38 1/3.
Então a diferença entre as
partes é 9 1/6.
Uma resolução mais atual
seria:
Seja d a diferença e s o
termo inicial. Então, 20 =100/5 = s + d(5-1)/2 = s+2d. A soma das
dois termos menores é 1/7 da soma dos três maiores, logo 3s +9d =
7x(2s + d) = 14s + 7d. Portanto, 2d = 11s e 20 = s+2d = 12s.
Logo, s = 1 + 1/2 + 1/6 e 2d = 11s = 18 + 1/3. Assim, d =
9 + 1/6. Os homens recebem respectivamente 1
+ 1/2 + 1/6, 10 + 1/2 + 1/3, 20, 29 + 1/6 e 38 + 1/3. O total é 100.
Questão:
Divida 10 heqat de cereal por 10 homens de modo que a diferença
comum seja 1/8 de um heqat de cereal.
Solução:
Calculando 10/10 obtemos 1 (a que os egípcios chamavam valor médio).
Portanto, o número total de diferenças é 10-1 = 9. Calcule-se
metade da diferença comum; obtém-se 1/16. Multiplicando 9 por 1/16
encontramos o valor 1/2+1/16. Adicionando este resultado ao valor
médio obtemos a parcela maior: 1+1/2+1/16. Subtraindo a diferença
comum, 1/8, nove vezes calculamos a parcela menor: 1/4+1/8+1/16.
Portanto as parcelas serão 1/4+1/8+1/16, 1/2+1/16, 1/2+1/8+1/16,
1/2+1/4+1/16, 1/2+1/4+1/8+1/16, 1+1/16, 1+1/8+1/16, 1+1/4+1/16,
1+1/4+1/8+1/16 e 1+1/2+1/16, que perfazem o total de 10.
Nome:Leonardo e Douglas Turma:8º ano A
1 comentários:
Os caculos eram realmente muito complicados na epoca. E nós pessoalmente não conseguimos entende-los, achamos muito confuso, mas se eles entendiam é o que importa. Mas o que mais importa é que a matematica mudou e ficou muito mais facil de entender e de calcular.
Amanda e Juliana
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